南囡喃喃

在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
　　容斥原理（1）如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类或B类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
　　例1
　　一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？
　　分析：依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类或B类元素个数”的总和。

      容斥原理（2）如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类或B类或C类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
　　例2某校六（1）班有学生54人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有34人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有18人，排球、游泳都参加的有14人，问：三项都参加的有多少人？
　　分析：仿照例1的分析，你能先说一说吗？
　　例3 在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个？不能被3或5整除的数共有多少个？
　　分析：显然，这是一个重复计数问题（当然，如果不怕麻烦你可以分别去数3的倍数，5的倍数）。我们可以把“能被3或5整除的数”分别看成A类元素和B类元素，能“同时被3或5整除的数（15的倍数）”就是被重复计算的数，即“既是A类又是B类的元素”。求的是“A类或B类元素个数”。现在我们还不能直接计算，必须先求出所需条件。1000÷3=333……1，能被3整除的数有333个（想一想，这是为什么？）同理，可以求出其他的条件。
　　例4 分母是1001的最简分数一共有多少个？
　　分析：这一题实际上就是找分子中不能整除1001的数。由于1001=7×11×13，所以就是找不能被7，11，13整除的数。
　　例5
　　某个班的全体学生在进行了短跑、游泳、投掷三个项目的测试后，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一项达到了优秀，达到了优秀的这部分学生情况如下表：
　　短跑 游泳 投掷 短跑、游泳 短跑、投掷 游泳、投掷 短路、游泳、投掷
　　1 7 1 8 1 5 6 6 5 2
　　求这个班的学生共有多少人？
　　分析：这个班的学生数，应包括达到优秀和没有达到优秀的。
　　试一试：一个班有42人，参加合唱队的有30人，参加美术组的有25人，有5人什么都没有参加，求两种都参加的有多少人？
　　例6
　　在一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种将木棍分成12等份，第三种将木棍分成15等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？
　　分析：很显然，要计算木棍被锯成多少段，只需要计算出木棍上共有多少条不同的刻度线，在此基础上加1就是段数了。
　　若按将木棍分成10等份的刻度线锯开，木棍有9条刻度线。在此木棍上加上将木棍分成12等份的11条刻度线，显然刻度线有重复的，如5/10和6/12都是1/2。同样再加上将木棍分成15等份的刻度线，也是如此。所以，我们应该按容斥原理的方法来解决此问题。用容斥原理的那一个呢？想一想，被计数的事物有那几类？每一类的元素个数是多少？

 http://baike.baidu.com/view/573741.htm

两物体在同一直线上运动所涉及的追及、相遇、相撞的问题，通常归为追及问题。

公式

　　追及：
     追及速度×追及时间=追及路程
　　追及速度=较快速度－较慢速度（即速度差）
　　相遇：
　　相遇速度×相遇时间=相遇路程
　　相遇速度=两人的速度和

　　例题
　　甲、乙同时起跑，绕300米的环行跑，甲每秒6米，乙每秒4米，问第二次追上乙时，甲跑了几圈？？
　　基本等量关系：追及时间* 速度差=追及距离
　　本题速度差为：6-4=2
　　甲第一次追上乙后，追及距离是环形报道的周长300米
　　第一次追上后，两人又可以看作是同时同地起跑，因此第二次追及的问题，就转化为类是于求解第一次追及的问题。
　　甲第一次追上乙的时间是：300/2=150秒
　　甲第一次追上乙跑了：6*150=900米
　　这是乙跑了：4*150=600米
　　这表明甲是在出发点上追上乙的，因此，第二次追上问题可以简化为把第一次追上时所跑的距离乘以二即可，得甲第二次追上乙共跑了：900+900=1800
　　乙共跑了：600+600=1200
　　亦即甲跑了1800/300=6圈
　　乙跑了1200/300=4 圈

http://baike.baidu.com/view/758887.htm

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